Définitions

Ligne droite

Les composants linéaires peuvent être exprimés de manière implicite ou paramétrique. Dans le cas des lignes, les deux représentations sont équivalentes. Cependant, comme nous allons le voir, la représentation paramétrique est plus convenable pour exprimer les demi-droites ou les segments de droite. 

Une ligne est définie par la relation :

n X = d

Un vecteur normal à la ligne est n = (n0, n1), et les points sont exprimés par X = (x0, x1). Si P est un point spécifique de la ligne, alors l'équation de la ligne est :

n(X - P) = 0 = n X – d

avec n P = d

Cette définition de ligne est appelée forme normale.

Vecteur

Un vecteur dans la direction de la ligne (ou vecteur directeur) est d = (d0, d1) = (n1, -n0)

La Figure 1 illustre une ligne typique dans le plan. Bien sûr, nous ne pouvons pas tracer une ligne ayant une étendue infinie dans les deux directions. Les pointes de flèches sont censées impliquer que ce qui est dessiné s'étend effectivement à l'infini dans les deux directions.

Une ligne partitionne le plan en deux demi-plans. Le demi-plan du côté de la ligne auquel les points normaux sont appelés le côté positif de la ligne est représenté algébriquement par :

n.X - d > 0

L'autre demi-plan est appelé le côté négatif de la ligne et est représenté algébriquement par :

n.X - d < 0

Bien que n ne doive pas nécessairement être un vecteur de longueur unitaire, il est pratique dans de nombreuses requêtes géométriques s'il s'agit d'une longueur unitaire. Dans ce cas, d est également la longueur de l'unité.

Le point P et les vecteurs de longueur unitaire d et n forment un système de coordonnées droites où P est l'origine et les vecteurs de longueur unitaire sont les directions des axes de coordonnées.

Tout point X peut être représenté par :

X = P + y0 d + y1 n

où :

y0 = d.(X - P) et y1 = n.(X – P).

Le côté positif de la ligne est caractérisé par y1> 0, le côté négatif de la ligne est caractérisé par y1 <0, et y1 = 0 représente la ligne elle-même.